ちょーさんメモ出張版 気まぐれブログ

ちょーさん(@cho_san111000)のブログです。数学やその他のことを書きます。更新頻度はちょーさんの気分次第です。

一様空間論

前からずっとほのめかしていた一様空間のpdfが完成しました。おまたせしました。

 

uniformspace.pdf - Google ドライブ

 

なので今回は一様空間の話を少ししようと思います。詳しいことはpdfを読んでもらうとしてここではざっくりと一様空間の重要な概念について述べます。

今回のpdfでポイントとしたのは次の3つです。

 pdfの順番に沿って一つずつ見ていきます。

ハウスドルフ化

一様空間はハウスドルフ化することができます。位相空間論に詳しい人は位相空間におけるコルモゴロフ商のハウスドルフ版だと思ってもらえればよいです。あるいは圏論に詳しい人は一様空間のなす圏においてハウスドルフ一様空間のなす部分圏からの包含関手が左随伴をもつのだと理解してください。

どっちも知らない人向けに説明をすると,つまりは任意の一様空間はある自然な方法でハウスドルフ一様空間にできるということです。自然な方法とは具体的には一様構造で識別できないような点同士は同一視しちゃえ!という同値関係で割るという方法です。このとき得られる一様空間はもとの一様空間に対して然るべき普遍性を持っていることがわかります。

完備性・完備化

これは一様空間の旨みという感じの概念ですね。位相空間を勉強したときに距離空間には完備性という性質があるがこれは位相的性質ではないというようなことを勉強した人も多いかもしれませんが,完備性は実は一様空間のカテゴリーで定義できます。そして一様空間に対しても完備化をすることができます。ただし一般の一様空間の完備化については少々面倒な問題があって,結果だけを述べると任意の一様空間は自然な方法で完備ハウスドルフ空間にすることができます。ハウスドルフ性まで課すことでうまい完備化が一意に存在することがわかり普遍性も満たしてくれます。

あるいはこれも圏論に詳しい人向けには完備ハウスドルフ一様空間の圏から一様空間の圏への包含関手が左随伴をもつことをいっています。

距離空間の完備化のときにはコーシー列を集めてきて距離が0みたいな同値関係で割ったのですが一様空間のハウスドルフ完備化ではコーシー列の代わりにコーシーフィルターを集めてハウスドルフ化します。距離空間の完備化で\lim_{n\to\infty}d(x_n,y_n)=0という同値関係で割っていたのはハウスドルフ化をしていたんですね。

コンパクト性

一様空間のコンパクト性についてもpdfの最後に書きました。といってもこれは距離空間のときの結果を一様空間に持ち上げただけですね。先に完備性が一様空間のカテゴリーで定義できると言いましたが同じく全有界という概念も一様空間で定義できます。そのため距離空間において成り立ったコンパクト⇔完備全有界という定理が一様空間でも成り立ちます。

pdfではフィルターを使って全有界一様空間の性質を粗方調べてからこの定理を示しましたが距離空間のときと同じようにネットを使って点列コンパクトっぽい形で示すこともできるんですかね。

双対性について

先月某日に立命京大合同セミナーに参加させていただき、Gelfand-Naimark双対性の話をしてきました。

前のRemakers合宿ではStone双対性にも触れまして色んな双対性をやる人みたいになってきたので双対性について思うところを書きます。

 

 

Stone双対性

完全不連結コンパクトハウスドルフな位相空間をStone空間といいます。Stone双対性はStone空間とブール代数の間の双対性です。

Stone空間の圏をStoneブール代数の圏をBoolと(今回は)書くことにします。このときStoneBoolの間に圏同値を与える反変関手が存在します。

Stone→Bool

反変関手clop\colon Stone \to BoolはStone空間Xに対してその開かつ閉集合全体の集合clop(X)を対応させる関手です。

arrowの対応は連続写像f \colon X \to Yに対してその引き戻しの写像clop(f) \colon clop(Y) \to clop(X)とします。

Bool→Stone

反変関手Spec \colon Bool \to Stoneブール代数Bに対してブール準同型B \to 2全体の集合をSpec(B)として返します。ここで2は集合2=\{0,1\}のことでこれは自然にブール代数となります。Spec(B)にはある方法で位相が入ってStone空間になります。

arrowの対応はブール準同型f \colon A \to Bに対してv \mapsto v\circ fという写像Spec(f) \colon Spec(B) \to Spec(A)を返します。

 

これらの反変関手clop,Specが実は圏同値を与えていることが確認できてStone空間とブール代数の双対性がわかります。

 

Gelfand-Naimark双対性

Gelfand-Naimark双対性はコンパクトハウスドルフ空間と単位的可換C*環の双対性です。Stone双対性のときと同様に考えるためコンパクトハウスドルフ空間の圏をCptHff,単位的可換C*環の圏をucC^\astと書くこととします。ただしucC^\astの射は単位元を保つ*-準同型です。

CpfHff→ucC*

反変関手C \colon CptHff \to ucC^\astはコンパクトハウスドルフ空間Xにそこ上の複素数値連続関数全体の集合C(X)を対応させます。

連続写像f \colon X\to YにはY上の関数をfX上に引き戻す写像C(f) \colon C(Y) \to C(X)を対応させます。

ucC*→CptHff

単位的可換C*環Aに対して0でない準同型A\to\mathbb{C}Aの指標といいます。反変関手\Omega\colon ucC^\ast\to CptHffは単位的可換C*環Aにその指標全体の集合\Omega(A)を対応させます。\Omega(A)にはweak *-topologyを入れてコンパクトハウスドルフ空間とみなします。

単位元を保つ*-準同型\phi\colon A\to Bについては\tau\mapsto\tau\circ\phiという指標の引き戻し写像\Omega(\phi)\colon\Omega(B)\to\Omega(A)が対応します。

 

これらの反変関手C,\Omegaがやはり実は圏同値を与えていることが確認でき,コンパクトハウスドルフ空間と単位的可換C*環の双対性がわかります。

 

考察

さて,ここまでStone双対性とGelfand-Naimark双対性の大雑把な流れを見てきました。どちらも2つの圏の間に反変関手が生えて圏同値を与えるという主張になっています。これらの双対性についてもう少し考察してみましょう。

Stone双対性再考

反変関手Spec \colon Bool \to Stoneはブール準同型B \to 2全体の集合をとる関手でした。これは圏論の言葉を使えばSpec=Hom_{Bool}(-,2)と書けます。

反変関手clop\colon Stone \to Boolは開かつ閉集合全体の集合をとる関手ですが位相空間Xの開かつ閉集合Uは離散位相空間2への連続写像f\colon X\to2U=f^{-1}(0)により一対一に対応します。すると開かつ閉集合全体の集合clop(X)連続写像全体の集合Hom_{Stone}(X,2)と同一視できてclop=Hom_{Stone}(-,2)と見なせます。

まとめるとSpec=Hom_{Bool}(-,2)clop=Hom_{Stone}(-,2)となり2つの反変関手はどちらもHom関手になっています。

Gelfand-Naimark双対性再考

同様の考察をすると反変関手C \colon CptHff \to ucC^\astC=Hom_{Top}(-,\mathbb{C})となっていることがわかります。\mathbb{C}はコンパクトではないのでHomを考えるカテゴリーが位相空間の圏Topになっています。

また単位的可換C*環における指標の定義は0でない準同型ですがこれから指標は単位元を保つ*-準同型であることがわかります。よって指標とはucC^\astのarrowのことで\Omega=Hom_{ucC^\ast}(-,\mathbb{C})と書けます。

まとめるとC=Hom_{Top}(-,\mathbb{C})\Omega=Hom_{ucC^\ast}(-,\mathbb{C})となりやはり2つの反変関手は(考える圏の違いはあるものの)Hom関手になっています。

双対性について

以上の再考からStone双対性・Gelfand-Naimark双対性の例では適当な対象におけるHom関手が反変圏同値を与えていることがわかります。Stone双対では2ブール代数とも位相空間とも見てそれぞれの見方でHom関手を考え,Gelfand-Naimark双対では\mathbb{C}位相空間やC*環とみてそれぞれHom関手を考えました。

さらに今回は詳しくは説明しませんでしたがブール代数Bに対するSpec(B)の位相や単位的可換C*環Aに対する\Omega(A)の位相はどちらもスペクトルのザリスキ位相に関係します。可換環論やらねば…

対してclop(X)=Hom_{Stone}(X,2)C(X)=Hom_{Top}(X,\mathbb{C})の演算は点ごとに定義することで得られます。clop(X)については集合演算なので少々非自明ですがU=f^{-1}(0)という同一視に従って計算すれば確認できます。

以上のようにStone双対とGelfand-Naimark双対にはいくらかの類似性がみられます。これをうまく一般化できたりするんですかね?うまい対象をとってそこへのHomsetにいい感じの構造が入れば圏同値が見えるみたいな…?米田の補題なんかも圏の圏でSetへのHomsetを考えるという意味では近い話な気がしてますが… でも反変関手CだけHomをとる圏がずれてるのが気になりますね。

なんにせよHom関手とかザリスキ位相とかkernelとかpointwise演算とかそのあたりが双対性では重要なキーワードになるのかもしれません。

第2回数研合宿に参加しました

3/26,27日に開催された立命館大学数学研究会主催の合宿に参加させていただきました。今回はリレーセミナーと特別講演がありました。以下その感想です。

 

リレーセミナー

可換代数班と集合と位相班の2つの班でリレーセミナーがありました。実態は可換環論班と集合論班でした。自分は可換環論班の方を主に覗かせてもらいましたがなかなか楽しかったです。アティマク読みたい。

 

特別講演

特別講演が4つありました。内容はそれぞれリー群リー環グラフ理論線形代数、単調劣モジュラ関数最適化問題でした。自分も講演をして線形代数の話をしました。どれも面白かったです。

リー群リー環の話は実質圏論でした。位相群やリー群が位相空間の圏や可微分多様体の圏の群対象として定義できるというのは面白い見方でした。

グラフ理論は彩色の話でした。最近グラフ理論の話を聞くことが多い気がする…情報数学が広まってるんですかね。

僕の線形代数の講演は線形代数がどのような場所で使われるのかという話をしました。線形代数めっちゃ大事なので頑張りましょうね。

最後は単調劣モジュラ関数最適化問題という情報数理の話でした。名前はゴツいですがつまりある集合関数の最適化アルゴリズムのことですね。情報の人も大変だなぁと思いました。

 

夜ゼミ

今回の数研合宿では夜ゼミの時間がありました。そこでこの前やっと証明を追えたストーン双対性の話をしました。

ストーン双対性はブール代数の圏と完全不連結コンパクトハウスドルフ空間の圏が反変圏同値になるという定理で、発表では位相空間論の基本的な定義を確認してからブール代数の定義、素イデアル定理を証明してストーン表現定理という流れで話しました。自分の復習にもなって楽しかったです。

 

感想

今回も楽しい合宿でした。なんだかんだ集って数学するのが自分は好きなんだなぁと思いました。立命館大学数学研究会には今後も頑張っていただきたいです。ありがとうございました。

 

Remakers第7回合宿に参加しました

Remakers合宿に参加してきました。この合宿に参加するのも今回でラストですかね。

 

リレーセミナー

連続群論班でした。前も位相群やってたな。でも今回はリー群の話のとくに具体例を中心にやりました。テキストは山内杉浦の連続群論入門です。表現論わからん…

最後に卒研でやってた猫の宙返りの話とかもできて楽しかったです。

 

特別講演

今回は4つの特別講演がありました。諸事情により1つは聞けなかったのですがどれも面白かったです。

素朴集合論改め圏論の話では極限の例みたいなのに触れてました。圏論難しい。

Capture the Flagの話はこんなのもあるんだなと思いました。情報系の人もちゃんと群論とか楕円曲線とか数学を使うんですね。

ぐらふりろんの話も情報系に近い数学の話でした。理論的には簡単な話でも実際に実装するのは難しいということはよくあるようです。行列木定理普通にすごいと思った。

 

夜ゼミ

夜ゼミでド・ラームの定理について話しました。無茶な構成で時間をオーバーしてしまって申し訳ないです。

ド・ラーム理論は自分で勉強していてホモロジー論、多様体論、ベクトル解析、圏論などが綺麗に繋がっていくのが非常に楽しいなと思いました。ただ今回の合宿ではそのあたりの知識を仮定できなかったので頑張ってそこから説明しました。疲れました。

 

まとめ

今回の合宿もとても楽しかったです。この合宿に参加するのは今回で最後になりそうですがこれからも様子を見守っていきたいです(?)。

Remakersの皆様、ありがとうございました。

沼津で聖地巡礼してきた話

先日、沼津へ聖地巡礼に行ってきました。そのときのことについてまとめます。

 

まず聖地巡礼することになった経緯について簡単に。前回の記事で触れたように数物合宿に参加したのですがその集合・解散場所がJR三島駅沼津駅の隣の駅でした。沼津といえばラブライブサンシャインの聖地。これは巡礼してくるしかねえなと思い合宿のあと沼津へ行くことにしました。

以下でその結果を当時のツイートとともにまとめておきます。

 

沼津駅到着

三島駅から一駅電車に乗って沼津駅到着です。

この時点でAqoursが目に入ってきました。さすがです。

当日は生憎の雨でしたが気合いを入れて聖地巡礼開始です。

 

プラサヴェルデ

沼津駅北口から徒歩3分のところにプラサヴェルデという施設があります。会議用のオフィスルームなんかがあるらしくこの日は日本胃癌学会とかいう看板が立ってました。

ここはサンシャインアニメ2期の聖地ですね。またプラサヴェルデの前には善子が犬を拾った場所もありました。雨が降っててむしろ良かった?

 

サンシャインカフェ

沼津駅南口に回るとサンシャインカフェがあります。浦の星女学院の教室をイメージした店内でAqoursのキャラクターをイメージしたメニューなどが食べられます。

 Saint Snowのイメージドリンクなんかもあったり店内で劇場版の挿入歌が流れていたりとどこを見てもラブライブな空間でした。オタク全開って感じ。花丸イメージのパンケーキを食べました。

外装もAqoursを全面に押し出していて目立ってました。

 

マンホール

あと噂のマンホールも見てきました。

 今回見つけたのはこれだけでしたが他にもあるようなのでまたの機会に探したいですね。

これらのマンホールは商店街の中にあったのですが商店街を歩く中でもAqoursのメンバーが色々なところに見られました。街をあげてAqoursを応援している感じがしました。

 

感想

以上で聖地巡礼終了です。ほんとはこのあと海を見に行ったりしたんですがすっかり暗くなってしまっていました。

今回の聖地巡礼では雨が降っていたり午後からだったので十分な時間がとれなかったりと心残りが多かった気がします。また落ち着いて時間がとれるときにリベンジしたいです。次はもっとちゃんと下調べして準備した上で巡礼したい…

でも商店街の雰囲気を味わえたりマンホールを見られたり見たかったものが見られたのは嬉しかったです。駅の観光案内所にAqoursのポスターや土産屋にぬいぐるみがあって応援されているなと感じました。そういやのっぽパン買った。

 美味しかったです。

最後に沼津駅南口の装飾の写真を載せておきます。

 余談ですがこの写真撮るのめっちゃ苦労したんですよ…車が被って…

夜に来たおかげでこれが見られたと思うと午後から巡礼というのも悪くなかったですね。

数物セミナー第19回合同合宿に参加しました

数物セミナー様の合宿に参加させていただきました。今回はその参加記です。

 

数物セミナーと合同合宿について

数物セミナーは全国の数学・物理が好きな学部生が学生主体で運営している自主ゼミ団体です。主な活動は談話会という講演会と年2回の合同合宿で今回は後者に参加してきました。合同合宿への参加は今回で3回目になりますが毎回レベルが高くていい刺激になっています。まわりが数学物理の話をしている人ばかりの空間というのはなかなかの非日常体験ですね。数物セミナー様のより詳しい情報は以下の公式ホームページを参照ください。

physmathseminar.web.fc2.com

 

リレーセミナー

数理論理学班で参加しました。本当に様相論理ができるとは思ってなかったのでびっくりしながら予習してました。セミナー前半では久しぶりに述語論理に真面目に触れましたがエルブランの定理などをやってめちゃめちゃ楽しかったです。後半の様相論理もクリプキモデルやシーケント計算に触れられました。完全性定理の証明がカバーしきれなかったのは少し心残りですね。

 

特別講演

今回は3つの特別講演を聞きました。印象に残っているのは巨大数の話ですね。クヌースの矢印やアッカーマン関数などの話をまとまって聞くのは初めてだった気がします。原始再帰的関数とかの再帰理論なんかはどこかでちゃんと勉強しなければなという気持ちになりました。

あと実数の話も面白かったですね。導入がうまかったのが印象的です。順序体の定義とコーシー完備性とアルキメデス性の紹介でした。別の場所で順序体や付値体については藤崎『体とガロア理論』に載っているらしいということを知ったので読んでみたいです。

 

夜ゼミ

2日目と3日目の夜には夜ゼミがありました。色々な自由発表がゲリラ的に行われていて楽しかったです。

2日目の夜ゼミでは主に圏論2班の延長リレーセミナーで米田の補題を証明しているのを覗いてました。すぐ裏でも別の人が米田の補題を示していたりそもそもその前のリレーセミナーの時間に圏論1班が米田の補題を示していたり進捗部屋でも米田の補題を示していたり今回の合宿では至るところで米田の補題が示されていた気がします。

3日目の夜ゼミでは一様空間について話しました。簡単な布教と自分の理解の整理のためです。わりと聞いてくれる人が集まってくれてありがたかったです。内容としては一様空間の定義からはじめて一様連続写像を定義し距離空間のときの諸々の性質が一般の一様空間でいえるぜみたいな紹介をしたあと後半で一様空間のハウスドルフ化と完備化、コンパクト性の話をしました。なんかこのブログのどこかで一様空間のpdfを書いて上げますみたいなことを書いた気がするんですがそれについては鋭意製作中ですので今しばらくお待ちください。

 

感想

今回も非常に楽しい4日間でした。今までやってきた数学の見直しやこれからやりたい数学などが見つかって有意義な経験になったと思います。とりあえず圏論と体論と可換環論やりたい…

自分は今年で学部卒業なので合宿参加は今回で最後になりますが今後もこのような学外交流のイベントには参加していきたいですね。

今回の合宿の運営をしてくださった数物セミナーの会員の方々、ありがとうございました。

 

合宿のあと行った場所については次の記事に書きます。

pdfまとめ

ブログ内で上げたり上げなかったりしたpdfをまとめておきます。随時追加していきます。

  

位相空間上のフィルターの収束

タイトル通り位相空間上のフィルターの収束についてまとめたpdfです。仮定知識は位相空間論程度でチコノフの定理までまとめています。

 

数理論理学入門入門・古典一階命題論理

基礎論の布教用に書いた数理論理学の入門pdfです。仮定知識は素朴集合論程度で完全性定理までまとめています。

 

ネットの収束と位相空間

位相空間におけるネットについてまとめたpdfです。仮定知識は位相空間論とフィルターの理論でハウスドルフ性・コンパクト性の特徴づけまでまとめています。

[2019/4/29追記]定理1.10の証明中に誤植がありましたので訂正しました。

 

ブール代数を用いた完全性定理の証明

ブール代数を用いた完全性定理の証明についてまとめたpdfです。仮定知識は一応とくにないですが初歩的な数理論理学とブール代数を知っていることが望ましいです。

 

関数列の収束について

関数空間の一様コーシー列が収束することを証明したpdfです。仮定知識は初歩的な線形代数、解析、位相空間論です。線形代数はノルム空間の定義程度、解析は一様収束と実数の連続性程度です。

 

集合の双対

集合の圏と完備アトミックブール代数の圏の圏同値を示しました。仮定知識は基本的な順序集合、ブール代数圏論です。

 

ド・ラームの定理

ド・ラームの定理の証明の概要を書きました。多様体論(微分形式と外微分程度),ベクトル解析(ストークスの定理程度),ホモロジー論(ホモロジー群,コホモロジー群と鎖写像の定義程度)は仮定してます。いずれ補題の証明まで補完したものを書きたいです。

 

Sorgenfrey直線について

Sorgenfrey直線の可分性と第1可算性と第2可算でないことを証明した1ページのビラです.位相空間論の知識だけで読めます.Sorgenfrey直線って名称でこの空間が載ってる本を見たことない気がするんですがどこが出典なんでしょう.

 

一様空間

一様空間の入門pdf,というか自分が勉強した内容をまとめたものです。仮定知識は位相空間論とフィルターの収束,あと直接議論には出てこないですが距離空間。一部でネットの収束と圏論も仮定しています。その他の話題で述べた部分もいずれ勉強したいです。

 

位相群のハウスドルフ性について

位相群のハウスドルフ化とそれがもたらす随伴についてまとめたpdfです。仮定知識は群論位相空間論,圏論の初歩です。一部で一様空間の基本知識も仮定してます。こういう随伴はいろんなところで出てくる気がしますね。

 

線形代数におけるHodge *-作用素

線形代数レベルのHodge *-作用素について勉強したことをまとめたpdfです。仮定知識は線形代数外積代数です。あと群の作用も少し出てきます。いずれこれを書き足して外積代数入門pdfみたいなのをまとめるとかいう構想があったらいいな。