ちょーさんメモ出張版 気まぐれブログ

ちょーさん(@cho_san111000)のブログです。数学やその他のことを書きます。更新頻度はちょーさんの気分次第です。

一様空間論

前からずっとほのめかしていた一様空間のpdfが完成しました。おまたせしました。

 

uniformspace.pdf - Google ドライブ

 

なので今回は一様空間の話を少ししようと思います。詳しいことはpdfを読んでもらうとしてここではざっくりと一様空間の重要な概念について述べます。

今回のpdfでポイントとしたのは次の3つです。

 pdfの順番に沿って一つずつ見ていきます。

ハウスドルフ化

一様空間はハウスドルフ化することができます。位相空間論に詳しい人は位相空間におけるコルモゴロフ商のハウスドルフ版だと思ってもらえればよいです。あるいは圏論に詳しい人は一様空間のなす圏においてハウスドルフ一様空間のなす部分圏からの包含関手が左随伴をもつのだと理解してください。

どっちも知らない人向けに説明をすると,つまりは任意の一様空間はある自然な方法でハウスドルフ一様空間にできるということです。自然な方法とは具体的には一様構造で識別できないような点同士は同一視しちゃえ!という同値関係で割るという方法です。このとき得られる一様空間はもとの一様空間に対して然るべき普遍性を持っていることがわかります。

完備性・完備化

これは一様空間の旨みという感じの概念ですね。位相空間を勉強したときに距離空間には完備性という性質があるがこれは位相的性質ではないというようなことを勉強した人も多いかもしれませんが,完備性は実は一様空間のカテゴリーで定義できます。そして一様空間に対しても完備化をすることができます。ただし一般の一様空間の完備化については少々面倒な問題があって,結果だけを述べると任意の一様空間は自然な方法で完備ハウスドルフ空間にすることができます。ハウスドルフ性まで課すことでうまい完備化が一意に存在することがわかり普遍性も満たしてくれます。

あるいはこれも圏論に詳しい人向けには完備ハウスドルフ一様空間の圏から一様空間の圏への包含関手が左随伴をもつことをいっています。

距離空間の完備化のときにはコーシー列を集めてきて距離が0みたいな同値関係で割ったのですが一様空間のハウスドルフ完備化ではコーシー列の代わりにコーシーフィルターを集めてハウスドルフ化します。距離空間の完備化で\lim_{n\to\infty}d(x_n,y_n)=0という同値関係で割っていたのはハウスドルフ化をしていたんですね。

コンパクト性

一様空間のコンパクト性についてもpdfの最後に書きました。といってもこれは距離空間のときの結果を一様空間に持ち上げただけですね。先に完備性が一様空間のカテゴリーで定義できると言いましたが同じく全有界という概念も一様空間で定義できます。そのため距離空間において成り立ったコンパクト⇔完備全有界という定理が一様空間でも成り立ちます。

pdfではフィルターを使って全有界一様空間の性質を粗方調べてからこの定理を示しましたが距離空間のときと同じようにネットを使って点列コンパクトっぽい形で示すこともできるんですかね。