pdfまとめ
ブログ内で上げたり上げなかったりしたpdfをまとめておきます。随時追加していきます。
タイトル通り位相空間上のフィルターの収束についてまとめたpdfです。仮定知識は位相空間論程度でチコノフの定理までまとめています。
基礎論の布教用に書いた数理論理学の入門pdfです。仮定知識は素朴集合論程度で完全性定理までまとめています。
位相空間におけるネットについてまとめたpdfです。仮定知識は位相空間論とフィルターの理論でハウスドルフ性・コンパクト性の特徴づけまでまとめています。
[2019/4/29追記]定理1.10の証明中に誤植がありましたので訂正しました。
ブール代数を用いた完全性定理の証明についてまとめたpdfです。仮定知識は一応とくにないですが初歩的な数理論理学とブール代数を知っていることが望ましいです。
関数空間の一様コーシー列が収束することを証明したpdfです。仮定知識は初歩的な線形代数、解析、位相空間論です。線形代数はノルム空間の定義程度、解析は一様収束と実数の連続性程度です。
集合の圏と完備アトミックブール代数の圏の圏同値を示しました。仮定知識は基本的な順序集合、ブール代数、圏論です。
[2021/7/8追記]実はだいぶ前に教えてもらったんですがこの結果は一般化されたストーン双対定理の一部だそうです。
ド・ラームの定理の証明の概要を書きました。多様体論（微分形式と外微分程度），ベクトル解析（ストークスの定理程度），ホモロジー論（ホモロジー群，コホモロジー群と鎖写像の定義程度）は仮定してます。いずれ補題の証明まで補完したものを書きたいです。
Sorgenfrey直線の可分性と第1可算性と第2可算でないことを証明した1ページのビラです．位相空間論の知識だけで読めます．Sorgenfrey直線って名称でこの空間が載ってる本を見たことない気がするんですがどこが出典なんでしょう．
一様空間の入門pdf，というか自分が勉強した内容をまとめたものです。仮定知識は位相空間論とフィルターの収束，あと直接議論には出てこないですが距離空間。一部でネットの収束と圏論も仮定しています。その他の話題で述べた部分もいずれ勉強したいです。
位相群のハウスドルフ化とそれがもたらす随伴についてまとめたpdfです。仮定知識は群論，位相空間論，圏論の初歩です。一部で一様空間の基本知識も仮定してます。こういう随伴はいろんなところで出てくる気がしますね。
線形代数レベルのHodge ＊-作用素について勉強したことをまとめたpdfです。仮定知識は線形代数と外積代数です。あと群の作用も少し出てきます。いずれこれを書き足して外積代数入門pdfみたいなのをまとめるとかいう構想があったらいいな。
[2019/9/13追記]定義3.1の主張中に誤植があったので訂正しました。
距離空間でコンパクトと点列コンパクトが同値になるという事実について整理したpdfです。仮定知識は位相空間、距離空間の基本的な定義とあと導出図が軽く読めるとよいです。最後のとこはノリで書いたんですがわりと見やすいのではと思ってたり。
Rieszの表現定理は自然同型として解釈できるというのを示しました。仮定知識は基本的な関数解析と圏論。随伴作用素っていうくらいだし随伴だと思うことってできないんですかね。
球面のコホモロジーの計算方法を練習がてらまとめたpdfです。基本的なホモロジー・コホモロジーの知識と完全列については仮定してます。コホモロジーがスラスラ計算できるようになりたい。
双対リー代数を定義してリー代数の双対であることを証明しています。仮定知識は外積代数と初歩的な圏論です。リー代数やコホモロジーなどにも触れてた方が読みやすいですね。
多様体上のド・ラームコホモロジーに関するマイヤーヴィートリス完全系列の証明をまとめたpdfです。仮定知識はド・ラームコホモロジー程度。こういうの手を動かさないとわかんないですよね。
アーベル圏で蛇の補題とコホモロジー長完全列を加群に埋め込まずに示しています。仮定知識はアーベル圏の基本的な計算。共著で自分はコホモロジー長完全列の証明の部分を担当しました。
トポスの射の像分解とそれが誘導する随伴についてまとめました。仮定知識は極限などの基本的な圏論の計算です。トポスについては定義から書いてますが少しトポスの計算に慣れてた方がいいかもしれません。いやあんまり関係ないか…？
トポスを用いた型付き論理の意味論の構成について勉強したことをまとめました。仮定知識は極限・随伴・カルテシアン閉圏の定義程度の圏論です。数理論理学もちょっと知ってた方がいいかも。だんだん論理体系やトポスの構造を膨らませていって色々なCategorical Logicに触れたいですね。
古典論理からBool代数を構成するのを参考に直観主義論理のリンデンバウム代数を構成してそれがHeyting代数であることを示すというMath Advend Calendar 2020の寄稿記事です。仮定知識は一応ほぼなしということになってますが数理論理と束の計算にある程度慣れてるのが望ましいです。
特異ホモロジーの定義、その位相不変性をみたあとHurewiczの定理の1次の場合の証明をまとめたpdfです。仮定知識は位相空間論と基本群の基礎的な知識です。加群の言葉も多少使ってます。このpdfは今後も不定期に更新していくつもりです。
モナドについて勉強したときのまとめノートです。内容はモナドとT代数の定義、Eilenberg-Moore圏と自由忘却随伴、Beckのモナド性定理の証明などです。仮定知識は通常の圏論、例については簡単な代数程度。HoCAとかもっとちゃんと読んだ方がいい？
トポスの有限余完備性について勉強したときのノートです。基本的な圏論の知識があれば一応読めますがモナドについてはこのpdf内ではFactにしています。
ポントリャーギン双対の勉強で作ったpdfその1。位相群の指標群の構成とその性質の証明、ポントリャーギン双対定理の主張を述べるとこまでまとめました。仮定知識は位相空間と群です。コンパクト開位相とネットの収束については付録で載せてます。なんでだろう。
ポントリャーギン双対の勉強で作ったpdfその2。ポントリャーギン双対の特殊ケースであるコンパクト位相群と離散位相群の間の双対性について証明しました。仮定知識は位相空間論、群論、測度論、群の表現論です。コンパクト群の表現論とかいつかもっとちゃんと勉強したい。
ポントリャーギン双対の勉強で作ったpdfその3。フーリエ変換に深く関連するの自己双対性について証明したpdfです。仮定知識は位相空間論と群論です。関数解析って難しい。
