2018-11-15

擬距離とハウスドルフ

数学参加記

お久しぶりですちょーさんです。先月はバタバタしていて更新できませんでした。

最近、ずっと卒研の合間を縫って一様空間の勉強をしています。前の記事でもチラッと言ってたように位相群に触れてモチベーションが出てきたので勉強し始めたのですが、やってみると思ったより難しかった…半月くらいでさくっと終わらせるつもりが気がついたら10月が終わってました。自分の数学力を過信していましたね。ただ苦労した分収穫もありました。そこで今回は一様空間を勉強する中で気が付いたことを書いていこうと思います。近況報告おわり。

擬距離の定義

さて、一様空間などと言いましたが今回はそう難しい話はするつもりはなくて、擬距離から入る位相についてごく簡単な事実の話をします。

まず、距離空間の定義は次の通りでした。

　写像 $d\colon X \times X \to X$ が3条件

　 $(1) d(x,y)=0 \Leftrightarrow x=y$

　 $(2) d(x,y)=d(y,x)$

　 $(3) d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$

　を満たすとき $d$ を $X$ 上の距離関数といい $(X,d)$ を距離空間という．

普通は(1)にさらに正値性 $d(x,y)\geq 0$ を課すことが多いですが、これは実はこれらの公理から証明できるので今回はこれを定義とします。

擬距離とは距離の公理のうち(1)を弱めて $\Rightarrow$ を除いたものになります。

　写像 $d\colon X \times X \to X$ が3条件

　 $(1) d(x,x)=0$

　 $(2) d(x,y)=d(y,x)$

　 $(3) d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$

　を満たすとき $d$ を $X$ 上の擬距離といい $(X,d)$ を擬距離空間という．

擬距離空間というのかは知りませんが一応距離空間に合わせて今回はこう定義することにしておきます。

これでも正値性 $d(x,y)\geq0$ は同様に証明できます。距離空間のときと違うのは異なる2点でも距離が0になりうることです。

擬距離による位相

擬距離があれば位相が入ります。入れ方は距離のときと同じです。

　 $d\colon X \times X \to X$ が擬距離のとき

　　 $U\subset X\colon$ open $\Leftrightarrow \forall x\in U\ \exists \varepsilon \gt 0\ B(x,\varepsilon)\subset U$

　として $X$ 上の位相が定まる．ただし $x\in X$ と $\varepsilon\gt0$ について　　　　

　　 $B(x,\varepsilon)=\{y\in X\mid d(x,y)\lt\varepsilon\}$

これが位相を定めることも距離空間の場合とまったく同様に示せます。

擬距離の位相についても色々な性質が成り立ったり成り立たなかったりするのですが今回はあまり深くは立ち入りません（というか深く立ち入る場面はたぶんあまりないです）。

ただ、擬距離の位相的性質について次の定理が成り立ちます。これが今回のmain theoremです。

　定理　 $(X,d)$ を擬距離空間とするとき，以下は同値である．

　　 $(1)\ (X,d)$ はハウスドルフ空間である．

　　 $(2)\ d$ は距離関数である．つまり $d(x,y)=0\Rightarrow x=y$ が成り立つ．

proof) $(1)\Rightarrow(2)$ を示す． $d(x,y)=0$ となる点 $x,y\in X$ をとる．もし $x\neq y$ ならハウスドルフ性よりある $\varepsilon\gt0$ があって $B(x,\varepsilon)\cap B(y,\varepsilon)=\emptyset$ となることがいえるがこれは明らかに $d(x,y)=0$ に矛盾する．よって $x=y$

$(2)\Rightarrow(1)$ については相異なる2点 $x,y\in X$ について $\varepsilon=\frac{1}{2}d(x,y)\gt0$ とおけば $B(x,\varepsilon),B(y,\varepsilon)$ は開集合で

$x\in B(x,\varepsilon)\ ,\ y\in B(y,\varepsilon)\ ,\ B(x,\varepsilon)\cap B(y,\varepsilon)=\emptyset$

となる．

(証明終)

この定理によれば距離と擬距離の差はまさに位相空間としてハウスドルフか否かの差であり、距離の公理の $d(x,y)=0\Rightarrow x=y$ というのはハウスドルフ性を主張しているんだと思えます。距離の定義にこれを入れるというのは距離空間ではハウスドルフ性が本質なのかなぁという気持ちです。

さらに言えば、擬距離が与えられたとき空間 $X$ を $d(x,y)=0$ という同値関係で割って距離空間にすることができます。これは位相空間論でいえばコルモゴロフ商、一様空間論でいえばハウスドルフ化の操作をしていることになります。つまり $d(x,y)=0$ となるとき $x=y$ とみなすことにするとハウスドルフ空間になるわけです。

まとめと次回予告

というわけで、距離空間はハウスドルフな擬距離空間として特徴づけられることを紹介しました。なぜこれを一様空間の勉強中に気づいたかというと、擬距離の入った空間は自然に一様空間になります。さらに一様空間はある意味で擬距離を使って特徴づけられます。そんな感じで一様空間は擬距離と密接な関係があるわけですが、一様空間におけるハウスドルフの特徴づけを見ていてこれに思い至りました。先に少し触れたように一様空間にはハウスドルフ化（付随するハウスドルフ空間）というのがあり、これがちょうど定理の主張を満たすようにしていると思えます。

一様空間についてはやっと勉強がひと段落つきそうな目処が立ってきたので近々pdfにでもまとめようかと思います。次回の更新はそれになりますかね。乞うご期待（？）ください。

2018-09-24

第6回ReMakers合宿に参加しました

数学参加記

前回の数研合宿に引き続き立命館大学自然科学ゼミ団体ReMakers様主催の合宿に参加させていただきました。ので今回の投稿も合宿の感想です。

ReMakersとReMakers合宿について
リレーセミナー
特別講演
まとめ

ReMakersとReMakers合宿について

最初に今回の合宿とこれを主催してくれたReMakersという団体について簡単に紹介しておきます。

自然科学ゼミ団体ReMakersは立命館大学の数学・物理・その他自然科学分野に興味のある学生たちによる自主ゼミ団体で、「学問の交差点」を目標に活動しています。

そんなReMakersの活動のひとつが年に2回行われるReMakers合宿になります。実はこの合宿には僕は初回から参加させてもらっていて毎回楽しませてもらっています。今回でこの合宿も6回目ということで感慨深いですね。

合宿の内容としては

１．リレーセミナー

２．特別講演

の2つの活動が主になります。１のリレーセミナーではいくつかの班に分かれて班ごとに決めた分野のセミナーをします。僕は今回は位相群班で参加させてもらいました。また２の特別講演では今回は4つの講演がありどれも面白かったです。僕も特別講演として位相幾何学の話をさせてもらいました。数研合宿でも話したアレですね。

以下、それぞれの感想を述べていきます。

リレーセミナー

前述のとおり位相群をやりました。色々あって（進捗はなくて）全然進めませんでしたが非常に面白かったです。セミナー中はずっと位相群つよいしか言ってなかったような気がします。位相群めちゃ楽しいということがわかりましたしおそらく今後自分の専門にも必要になるので位相群の勉強は続けていきたいです。あと位相群を少しかじったこのタイミングで前から勉強しようと思っていた一様空間についてもやっていこうかという気持ちになりました。このあたりはまとまった進捗が出たらまたまとめてこのブログにも上げようかと思います。

それと、初日にちょっとしたアクシデント（？）がありまして昼過ぎまでセミナーができなかったため他の班のセミナーの様子を見学したりもしました。今回のReMakers合宿では前回までなかった情報系と生物系の班があり、普段触れない分野なので新鮮でした。

特別講演

今回の特別講演は自分を含めて4つありました。統計データを次元圧縮する話や某ラノベで人気のレールガンを作る話や微分方程式を用いて体内時計などの生物の生活リズムを記述する話などどれも興味深い講演で面白かったです。そう思うと自分の講演ってフワッとしたことしか言ってないし全然大した話してないな…

ちなみに僕の講演の内容は数研合宿のときとほぼ同じで「位相幾何学のススメ」です。応用例の部分はまるっと差し替えて合宿参加者層に合わせて物理・情報・生物分野での応用を紹介しました。

また特別講演とは別に夜ゼミでの自由発表の時間もありこちらも面白かったです。僕は作用素環論と物理的解釈の話と楽譜の読み方の話を聞いたのですが、他にも量子カオスの話やブラックホールの話や座屈と呼ばれる現象の話など色々やっていたみたいです。聞けなかったやつも面白そうだ。

まとめ

位相群に触れられて、位相幾何学の布教もできて、他の色々な分野の話も聞けて非常に有意義で楽しい合宿でした。ReMakersもだんだん色んな分野の人が集まってきて「学問の交差点」っぽくなってきたなぁと思いました。できれば次回の合宿にも何らかの形で参加したいと思う次第です。ちなみにこのReMakers合宿の様子はTwitterのハッシュタグ #RM_sum6th で実況されていたので気になった方は検索してみてください。

ReMakers関係者の皆様ありがとうございました。

2018-09-09

数研合宿に参加しました

数学参加記

8/31~9/1に開催された立命館大学数学研究会主催の合宿（以下数研合宿）に参加させて頂きました。またこの数研合宿内で「位相幾何学のススメ」というタイトルで講演をさせて頂きました。ので今回は簡単に感想でも書こうかと思います。

数研合宿について

数研合宿は2日間で計8人の方がそれぞれ自由なテーマで講演をするという催しでした。

有り難いことにこの講演者のうちの1人として数研幹部の方からお声掛けいただきちょーさんが講演をするという運びとなりました。

他の方々の講演も関数解析などのピュアマスから力学系・プログラミング・超弦理論など色々な分野の話題が聞けて楽しかったです。

なお数研合宿の様子はハッシュタグ #Rits数研合宿で実況されていたので気になる人は覗いてみてください。

自分の講演について

「位相幾何学のススメ」ということで位相幾何学についてよく知らない人向けにふんわりと位相幾何学を紹介するという講演をしました。ざっくりした内容としては同相ってのがあるんだよ～というのと不変量というのを考えるよ～という話でした。

位相幾何学と言いながら位相空間論の知識を仮定しないというのはなかなかぶっ飛んだ試みでしたが、結果的には多くの人に「位相幾何学面白そう」というようなことを言ってもらえているようでよかったです。自分の専門に興味を持って貰えるのは嬉しいですね。

ちなみに、今度の9/19~21に開催される立命館自然科学ゼミ団体Remakers様の合宿でもほぼ同じ内容の講演を一部差し替えて話す予定なので暇な人はよければ聞きにきてくれればと思います。

最後に、数研合宿を企画・運営してくれた数学研究会幹部の方々ありがとうございました。

2018-08-17

位相空間とネット

数学

お久しぶりですちょーさんです。

最近院試勉強をしていたらネットの概念に少し触れたので今回はネットについて少し語ろうと思います。ネット自体については他にも詳しくまとめてくれている方々が何人かいるようなのでここでは深く立ち入らず，位相空間論においてネットがどう便利なのかを書いていこうと思います。証明も一部省略してfactとします。

仮定知識は位相空間論とフィルターです。フィルターについては以前にpdfにまとめて記事にも書いてあります

cho-san.hatenablog.jpここにまとめた程度の知識があれば今回は大丈夫です。

ネット
- ネットの定義
- 部分ネットと普遍ネット
位相空間のネット

ネット

ネットは点列の一般化です。フィルターも一般化ですがネットはより直接的な一般化で点列はネットの一種です。まずはネットとその周りの基本的概念を定義します。

ネットの定義

点列は $\mathbb{N}$ を添字集合とする族ですがネットではこの添字集合を一般化します。この添字集合にあたるのが有向集合の概念です。

　定義（有向集合）

　　空でない集合 $I$ 上の前順序 $\leq$ が条件

　　（有向性） $\forall i,j\in I\ \exists k\in I\hspace{1.0em}i\leq k\ ,\ j\leq k$

　　を満たすとき $(I,\leq)$ を有向集合(directed set)という．

つまり有向集合とは任意の2元に上界が存在する前順序集合のことです。有向集合を前順序ではなく順序として定義することもあります。

全順序集合は有向集合です（maxがとれるので）。従って $\mathbb{N}$ は有向集合であり，有向集合は $\mathbb{N}$ の一般化だと思えます。

例　 $\mathfrak{F}$ を $X$ 上のフィルターとする． $\mathfrak{F}$ 上の関係 $\leq$ を

$F_1\leq F_2\Leftrightarrow F_1\supset F_2$

　　とすると $(\mathfrak{F},\leq)$ は有向集合である．

以下，関係記号を省略して有向集合 $I$ と書き有向集合の前順序を $\leq$ で書きます。

有向集合を添字とする点の族としてネットを定義します。

　定義（ネット）

　　 $X$ は集合で $I$ は有向集合とする．写像 $x\colon I\to X$ を $X$ のネット(net)という．

ネットは有向点族と訳されることもあります。ネット $x\colon I\to X$ を点列のときと同様に $(x_i)_{i\in I}$ などと書きます。

ネットの添字集合に有向性を仮定するのはあとで位相空間のネットに収束を定義するときに”十分先の方”では比較できてほしいからという気持ちです。半順序では弱すぎる、けど全順序は強すぎる。その間をとった形になります。

部分ネットと普遍ネット

この時点でネットの収束の定義もまあ予想がつくだろうと思いますが、位相空間のネットに入る前にもう少しだけ一般のネットについて概念を定義しておきます。

点列では部分列という概念があり点列コンパクト性やボルツァノ・ワイエルシュトラスの定理なんかで重要になるのでした。そこでネットにも部分ネットという概念を定義しましょう。部分ネットの概念はいくつかあるようですが今回は次のように定義します。

　定義（部分ネット）

　　 $(x_i)_{i\in I}$ を $X$ のネットとする．有向集合 $J$ と写像 $h\colon J\to I$ が2条件

　　（単調性） $\forall i,j\in J\hspace{1em}i\leq j\Rightarrow h(i)\leq h(j)$

　　（共終性） $\forall i\in I\ \exists j\in J\hspace{1em}i\leq h(j)$

　　を満たすとき $X$ のネット $\left(x_{h(j)}\right)_{j\in J}$ を $(x_i)_{i\in I}$ の部分ネット(subnet)という．

部分列のときと比べるとやや対応がわかりづらい定義です。気分としては $\left(x_{h(j)}\right)_{j\in J}$ では $(x_i)_{i\in I}$ の”一部分”をとってきているので部分ネットという感じです。実際任意の単調単射 $\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ は共終性を満たします。

ここで注意してほしいのは添字集合が $I$ から $J$ にまるっきり変わっていることです。点列のときには部分列をとっても添字集合は $\mathbb{N}$ のままでしたが一般のネットではこれが全く別の有向集合に変わります。

また部分ネットに共終性を仮定するのも初めて見る人には分かりにくいかもしれません。共終性というのはつまり非有界性なので点列で言えば点列の有限部分集合を部分列とは呼ばないよねみたいな感じです。

ネットに関する概念としてもうひとつ重要なものに普遍ネットというものがあります。

　定義（普遍ネット）

　　 $X$ のネット $(x_i)_{i\in I}$ が条件

　　 $\ \forall A\subset X\ \exists i_0\in I\hspace{1em}(\forall i\in I\ \ i_0\leq i\Rightarrow x_i\in A)or(\forall i\in I\ \ i_0\leq i\Rightarrow x_i\in A^c)$

　　を満たすとき $(x_i)_{i\in I}$ を普遍ネット(universal net)という．

普遍ネットは点列でイメージするのは難しいですが、フィルターで考えるとわかりやすいです。ズバリ普遍ネットとはフィルターでいうウルトラフィルターのことになります。普遍ネットの条件はフィルター $\mathfrak{F}$ がウルトラフィルターであることの同値条件

$\forall A\subset X\hspace{1em}A\in\mathfrak{F}\ or\ A^c\in\mathfrak{F}$

に対応しています。そのため普遍ネットのことをウルトラネット(ultranet)と呼ぶこともあります。またこの条件は完全性とよばれるので普遍ネットを完全有向点族とも呼びます。

例　 $\mathfrak{F}$ を $X$ 上のウルトラフィルターで写像 $\ x\colon\mathfrak{F}\to X$ を $\mathfrak{F}$ の選択関数，つまり

$\forall F\in\mathfrak{F}\hspace{1em}x(F)\in F$

　　とする．このとき $(x_F)_{F\in\mathfrak{F}}$ は普遍ネットである．

次の定理はネットに関して非常に重要な事実です。

　定理（普遍部分ネットの存在）

　　任意のネットは普遍部分ネットをもつ．

普遍部分ネットとは普遍ネットであるような部分ネットのことです。この定理の証明は少し長くなるので今回は省略します。証明は細かい部分でテクニカルな作業が必要になりますが本質的には拡大ウルトラフィルターの存在によります。

位相空間のネット

ネットの基本的な定義を終えたところでいよいよ位相空間のネットについてみていきます。

ネットの収束

位相空間のネットには収束が定義できます。

　定義（ネットの収束）

　　 $X$ は位相空間で $(x_i)_{i\in I}$ を $X$ のネットとする．点 $x\in X$ について

　　 $\forall N\in\mathfrak{N}(x)\ \exists i_0\in I\ \forall i\in I\hspace{1em}i_0\leq i\Rightarrow x_i\in N$

　　となるとき $(x_i)_{i\in I}$ は $x$ に収束するという．

点列の収束と同じ定義です。性質も点列とある程度同じように、例えば次の定理がなり立ちます。

　命題

　　 $X$ は位相空間で $(x_i)_{i\in I}$ は $X$ のネット， $\left(x_{h(j)}\right)_{j\in J}$ をその部分ネットとする．

　　 $(x_i)_{i\in I}$ が点 $x\in X$ に収束すれば $\left(x_{h(j)}\right)_{j\in J}$ も $x$ に収束する．

（証明）任意の $N\in\mathfrak{N}(x)$ についてある $i_0\in I$ があって

$\forall i\in I\hspace{1em}i_0\leq i\Rightarrow x_i\in N$

となる．共終性より $j_0\in J$ があって $i_0\leq h(j_0)$ となるが，このとき

$\forall j\in J\hspace{1em}j_0\leq j\Rightarrow x_{h(j)}\in N$

となる．■

つまり収束点は部分ネットに遺伝します。ただしこの証明の中で共終性を使っていることに注意しましょう（共終性がなければこれは成り立ちません）。

点列ではなくネットで考えることの利点は点列では一般に成り立たない命題がネットで考えると成り立つことです。フィルターと同じですね。例えば次が成り立ちます。

　命題　　 $X$ は位相空間で $x\in X\ ,\ A\subset X$ とする．以下は同値．

　　　(1) $x\in\overline{A}$

　　　(2) $x$ に収束する $A$ のネットが存在する

（証明）(1) $\Rightarrow$ (2)について、ネット $x\colon\mathfrak{N}(x)\to X$ を選択関数

$\forall N\in\mathfrak{N}(x)\hspace{1em}x(N)\in N\cap A$

とすると $(x_N)_{N\in\mathfrak{N}(x)}$ は $x$ に収束する $A$ のネットである．

(2) $\Rightarrow$ (1)について、 $x$ に収束する $A$ のネット $(x_i)_{i\in I}$ があれば

$\forall N\in\mathfrak{N}(x)\ \exists i\in I\hspace{1em}x_i\in N\cap A$

なので $x$ は $A$ の触点である．■

ハウスドルフとコンパクト

ネットを用いてハウスドルフ空間とコンパクト空間が特徴づけられます。このあたりもフィルターと同じですね。まずはハウスドルフ空間からいきましょう。

　定理

　　 $X$ を位相空間とする．以下は同値．

　　(1) $X$ はハウスドルフ空間

　　(2) $X$ の任意のネットは収束すれば一意

（証明）(1) $\Rightarrow$ (2)について、ネット $(x_i)_{i\in I}$ が点 $x,y\in X$ に収束しているとする．もし $x\neq y$ とすると，

$\forall N\in\mathfrak{N}(x)\ \forall M\in\mathfrak{N}(y)\ \exists i\in I\hspace{1em}x_i\in N\cap M$

となるのでハウスドルフ空間という仮定に反する．よって $x=y$ ．

(2) $\Rightarrow$ (1)について、 $x\neq y$ とする．もしこれらが開集合で分離できないとすると，

$\mathfrak{N}(x)\cup\mathfrak{N}(y)\subset\mathfrak{F}$

となるフィルター $\mathfrak{F}$ が存在する．この $\mathfrak{F}$ の選択関数によるネット $(x_F)_{F\in\mathfrak{F}}$ は $x,y$ の両方に収束する．これは仮定に反する．■

このネットによるハウスドルフ空間の特徴づけはまさに点列の一般化です。ハウスドルフ空間では点列収束の一意性は成り立ちますが逆は成り立ちません。これを点列からネットに広げると逆が成り立つわけです。

コンパクト空間についても同様の特徴づけができます。こちらはフィルターによる特徴づけも参考にしてください。

　定理

　　 $X$ を位相空間とする．以下は同値．

　　(1) $X$ はコンパクト空間

　　(2) $X$ の任意の普遍ネットは収束する

　　(3) $X$ の任意のネットは収束部分ネットをもつ

（証明）(1) $\Rightarrow$ (2) $\Rightarrow$ (3) $\Rightarrow$ (1)の順に示す．

(1) $\Rightarrow$ (2)について、 $(x_i)_{i\in I}$ を $X$ の普遍ネットとする．各 $i\in I$ ごとに

$S(i)=\{x_j\mid i\leq j\}$

とおくと $\{S(i)\mid i\in I\}$ は有限交叉性をもつので $X$ のコンパクト性より

$\displaystyle x\in\bigcap_{i\in I}\overline{S(i)}$

がとれる．このとき任意の $N\in\mathfrak{N}(x)$ について普遍ネットの定義から $i_0\in I$ がとれて

$(\forall i\in I\ \ i_0\leq i\Rightarrow x_i\in N)or(\forall i\in I\ \ i_0\leq i\Rightarrow x_i\in N^c)$

となるが $x$ の取り方から前者であることがいえるので $(x_i)_{i\in I}$ は $x$ に収束していることがわかる．

(2) $\Rightarrow$ (3)については普遍部分ネットの存在から直ちにわかる．

(3) $\Rightarrow$ (1)について、 $\mathfrak{F}$ を $X$ のウルトラフィルターとする． $\mathfrak{F}$ の選択関数によるネット $(x_F)_{F\in\mathfrak{F}}$ は普遍ネットである． $(x_F)_{F\in\mathfrak{F}}$ の収束部分ネット $\left(x_{h(i)}\right)_{i\in I}$ をとりその収束点を $x\in X$ とする．

このとき任意の $N\in\mathfrak{N}(x)$ について普遍ネットの定義から $F_0\in\mathfrak{F}$ をとれば

$\forall F\in\mathfrak{F}\ \ F_0\supset F\Rightarrow x_F\in N$

が部分ネットの共終性と収束よりいえる．とくに任意の $F\in\mathfrak{F}$ について $x_{F_0\cap F}\in N\cap F$ である． $\mathfrak{F}$ はウルトラフィルターなので $N\in\mathfrak{F}$ となる．

故に $\mathfrak{N}(x)\subset\mathfrak{F}$ なので $\mathfrak{F}$ は収束することがわかった．任意のウルトラフィルターが収束するので $X$ はコンパクトである．■

これも(3)の条件は点列コンパクト性の一般化になっています。(2)の条件はウルトラフィルターの収束の類似です。まとめると、ネットによる特徴づけは

ハウスドルフ $\Leftrightarrow$ 収束が一意

　コンパクト $\Leftrightarrow$ 収束部分ネットが存在

となります。

ネットを用いた証明

本記事はネットの便利さを紹介する記事だったはずなので実際にネットの便利さがわかる証明をしてみたいと思います。

　命題　　ハウスドルフ空間のコンパクト集合は閉集合．

非常に有名な命題です。これをネットを用いて証明してみます。

（証明） $X$ をハウスドルフ空間とし $\ A\subset X$ をコンパクト集合とする． $x\in\overline{A}$ とすると $x$ に収束する $A$ のネット $(x_i)_{i\in I}$ が存在する． $A$ はコンパクトなのである $y\in A$ に収束する部分ネット $\left(x_{h(j)}\right)_{j\in J}$ が存在する．また収束点は部分ネットに遺伝するので $\left(x_{h(j)}\right)_{j\in J}$ は $x$ にも収束する． $X$ はハウスドルフなので収束の一意性から $x=y\in A$ となる．よって $A$ は閉集合■

開被覆を用いた証明よりも直感的ですっきりした証明になったかと思います。

　命題　　コンパクト空間の閉集合はコンパクト．

これも有名ですね。この命題もネットで示してみましょう。

（証明） $X$ をハウスドルフ空間とし $\ A\subset X$ を閉集合とする． $A$ の任意のネット $(x_i)_{i\in I}$ は $X$ のコンパクト性よりある $x\in X$ に収束する部分ネット $\left(x_{h(j)}\right)_{j\in J}$ をもつ．しかし $A$ は閉集合なので $x\in A$ である．よって $A$ の任意のネットが $A$ に収束する部分ネットをもつので $A$ はコンパクトである．■

この命題は開被覆による証明も簡潔ですがこの証明もかなり簡潔でわかりやすいものになっています。

　命題　　 $X$ はコンパクト空間で $Y$ は位相空間とする．

　　　 $Y$ への射影 $p_Y\colon X\times Y\to Y,p(x,y)=y$ は閉写像である．

これもそこそこ有名なやつです。この命題のネットを用いた証明には次の事実を使います。

　命題　　 $X,Y$ は位相空間で $f\colon X\to Y$ は写像とする．以下は同値．

　(1) $f$ は連続

　(2) $X$ のネット $(x_i)_{i\in I}$ が $x$ に収束すれば $Y$ のネット $(f(x_i))_{i\in I}$ が $f(x)$ に収束する

この命題の証明もそう難しくはないのですが今回は認めることとします。この命題自体も点列連続の類似になっています。

（証明） $A\subset X\times Y$ を閉集合として $p_Y(A)\subset Y$ が閉集合であることを示す．

$y\in \overline{p_Y(A)}$ をとる．すると $y$ に収束する $p_Y(A)$ のネット $(y_i)_{i\in I}$ が存在する．各 $i\in I$ ごとに $y_i\in p_Y(A)$ なので $x_i\in X$ がとれて $(x_i,y_i)\in A$ となる．

$X$ はコンパクトなのである $x\in X$ に収束する $(x_i)_{i\in I}$ の部分ネット $\left(x_{h(j)}\right)_{j\in J}$ がとれる．収束点は部分ネットに遺伝するので $\left(y_{h(j)}\right)_{j\in J}$ は $y$ に収束し， $X\times Y$ のネット $\left((x_{h(j)},y_{h(j)})\right)_{j\in J}$ は $(x,y)$ に収束する． $A$ は閉集合なので $(x,y)\in A$ であり， $y=p_Y(x,y)\in p_Y(A)$ がわかる．よって $p_Y(A)$ は閉集合である．■

これも開被覆を構成する証明よりかは直感的な証明になっているのではないかと思います。

ここまでで3つほどネットを用いた証明の例を見てきましたがより直感的で簡潔な証明になっていることが見て取れたかと思います。このようにネットを用いると閉集合やコンパクトといった概念を扱うのが楽になります。もっと勉強してネットやフィルターを使いこなせるようになりたいものです。

まあよく考えたら幾何学徒として多様体なんかを扱っている分には点列で十分なんですが…第1可算なので…

[追記]

以上の内容（ネットの定義～ハウスドルフ性・コンパクト性）をpdfにまとめました。ブログでは飛ばした普遍部分ネットの存在の証明なども補っています。

本当はフィルターとネットの対応などについて書こうかと思ったのですが疲れたので（あと自分の勉強不足で）それはまた今度にしようと思います。

2018-07-15

命題論理の完全性定理について

数学

今回は趣味でやってる基礎論の話題について書こうと思います。

といってもそんな大した話ではなく，古典一階命題論理の完全性定理について自分の覚え書きのためも兼ねてつらつらと書いていきます。

数理論理学pdf
モデル存在定理
完全性定理
おわりに

数理論理学pdf

まず、以前に基礎論布教用に命題論理について基本を一通りまとめたpdfを書きました。

論理式の定義から完全性定理までをカバーしています。

この完全性定理の証明なのですが、できるだけ直接に完全性定理を示そうとしたところなんか微妙な証明になった気がするのでここでは別の証明をざっくり追ってみようと思います。

以下、ノーテーションはpdfに従うものとします。

モデル存在定理

pdfの最後の方でも触れた通りモデル存在定理という定理があります。

　モデル存在定理

　　論理式の集合 $\Gamma$ について $\Gamma$ が無矛盾ならば $\Gamma$ はモデルをもつ．

今回はこの定理を証明し、これを用いて完全性定理を示していきます。

モデル存在定理を示すためにpdfと同様に2つの補題を用います。

　Zornの補題

　　空でない帰納的順序集合 $X$ には極大元が存在する．

　　特に任意の $x\in X$ について $x\leq x^\ast$ となる極大元 $x^\ast\in X$ が存在する．

　演繹定理

　　論理式の集合 $\Gamma$ ，論理式 $\varphi,\psi$ について

$\Gamma\cup\{\varphi\}\vdash\psi\ \Leftrightarrow\ \Gamma\vdash\varphi\to\psi$

これらの補題についてはpdfを参照とします。ただし演繹定理の方は今回は明示的には用いません。

以上の準備の下にモデル存在定理を証明していきます。

（証明） $\Gamma$ を無矛盾な論理式の集合とする．

論理式全体の集合を $\Phi$ とおく． $\mathcal{A}$ を無矛盾な $\Phi$ の部分集合全体の集合とする．

このとき $\mathcal{A}$ は包含関係について帰納的順序集合となることがわかる． $\Gamma\in\mathcal{A}$ なのでZornの補題より $\Gamma\subset\Gamma^\ast$ となる極大元 $\Gamma^\ast\in\mathcal{A}$ がとれる．

$\Gamma^\ast$ は次の性質を持っている．（ここで演繹定理を用いる）

$\mbox{任意の論理式}\varphi\mbox{について}\ \varphi\in\Gamma^\ast\mbox{または}\neg\varphi\in\Gamma^\ast$

またこの性質から $\Gamma^\ast$ について次の性質が従う．

　　 $\psi\wedge\chi\in\Gamma^\ast \ \Leftrightarrow\ \psi\in\Gamma^\ast\mbox{かつ}\chi\in\Gamma^\ast$

　　　 $\psi\vee\chi\in\Gamma^\ast \ \Leftrightarrow\ \psi\in\Gamma^\ast\mbox{または}\chi\in\Gamma^\ast$

　　　 $\ \psi\to\chi\in\Gamma^\ast \ \Leftrightarrow\ \psi\notin\in\Gamma^\ast\mbox{または}\chi\in\Gamma^\ast$

$\neg\psi\in\Gamma^\ast \ \Leftrightarrow\ \psi\notin\Gamma^\ast\hspace{0.9cm}$

そこで写像 $\mathcal{M}\colon\Omega\to\{0,1\}$ を次のように定義する．

$\mathcal{M}(X)=1\hspace{1.0em}(X\in\Gamma^\ast\mbox{のとき})$

$\ \mathcal{M}(X)=0\hspace{1.0em}(X\notin\Gamma^\ast\mbox{のとき})$

このとき前述の $\Gamma^\ast$ の性質より

$\mbox{任意の論理式}\varphi\mbox{について}\ \mathcal{M}\models\varphi\ \Leftrightarrow\ \varphi\in\Gamma^\ast$

が成り立つ．

よって $\Gamma\subset\Gamma^\ast$ であることより $\mathcal{M}$ は $\Gamma$ のモデルである． $\rule{4mm}{4mm}$

この証明では極大無矛盾集合とよばれる $\Gamma^\ast$ がキーになっています。pdfでの完全性定理の証明も本質的にはこれと同じ方法をとっています。

完全性定理

では実際にモデル存在定理を用いて完全性定理を証明しましょう。

　完全性定理

　　 $\Gamma$ を論理式の集合， $\varphi$ を論理式とするとき

$\Gamma\models\varphi\Rightarrow\Gamma\vdash\varphi$

（証明）対偶を示す．つまり $\Gamma\vdash\hspace{-0.8em}\backslash \varphi$ を仮定して $\Gamma\models\hspace{-1.0em}\backslash\ \varphi$ を示す．ここで $\Gamma\models\varphi$ とは $\Gamma$ の任意のモデルで $\varphi$ が真であることだったので $\Gamma\models\hspace{-1.0em}\backslash\ \varphi$ を示すには $\varphi$ が偽となる $\Gamma$ のモデルが存在することを言えばよい．

$\Gamma\vdash\hspace{-0.8em}\backslash \varphi$ のとき， $\Gamma\cup\{\neg\varphi\}$ が無矛盾であることがわかる．よってモデル存在定理より $\Gamma\cup\{\neg\varphi\}$ のモデル $\mathcal{M}$ が存在するが，この $\mathcal{M}$ は $\varphi$ が偽となる $\Gamma$ のモデルである． $\rule{4mm}{4mm}$

見る人が見ればすぐにわかるかと思いますがこの証明は鹿島先生の『数理論理学』を参考にしたもの（というかこの部分に関してはまるっきりそのもの）です。

完全性定理の証明は数理論理学の中でも最初に悩むことになる非自明なところなのですが、このように対偶をとることでモデル存在定理に帰着しモデル存在定理はZornの補題から無矛盾極大集合をとることで示されると思えば理解しやすいのではないかと思います。

ただしこの方法は命題論理だから通用するもので、述語論理では存在量化記号に対してデリケートな問題が残るので言語の拡大などの方法でもう少し調整をする必要があります。このあたりがまた悩むところですね…

おわりに

以上で命題論理の完全性定理が証明できました。本当はもう少し、完全性定理とモデル存在定理とコンパクト性定理の同値性辺りまで書こうかと思ったのですが疲れたのでまたいつか気が向いたときに書くことにします。

参考文献はpdfに載せてあります。数理論理学の入門としてオススメの順番に並べてあるので興味のある人は上の方にあるタイトルを適当に開いてみるといいかと思います。

2018-06-09

位相空間上のフィルターの収束

数学

先日位相空間論におけるフィルターの話をpdfにまとめてTwitterに投稿しました

詳しい証明などは上のpdf（以下上の記事）に書いたのでここでは簡単な紹介だけしようかと思います。

フィルターとは位相空間論における「点列」を（ある意味で）一般化した概念で題にあるとおりフィルターの収束というものが位相空間において定義できます。

一般の位相空間では点列収束の一意性とハウスドルフ性や点列コンパクト性とコンパクト性などの条件は微妙に差がありますが、これの点列のところをフィルターに変えるとなんとこれらは同値になります！フィルターすげえ！！というのが上の記事の主題になります。

また上の記事ではその応用としてフィルターを用いてチコノフの定理を証明しています。この証明もフィルターを使えばずいぶんシンプルになるのでフィルター強ええ！！！というのがわかります。

もう少し具体的な話をしましょう。位相空間 ${ X }$ 上の点列 ${ \{x_n\} }$ が点 ${ x\in X }$ に収束することの定義は以下の通りでした。

$\forall U \in\mathfrak{N}(x)\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\in\mathbb{N}\ \ n\geq N \Rightarrow x_n\in U$

ただし $\mathfrak{N}(x)$ は $x$ の近傍系です。

ここで $F_N=\{x_n\mid n\geq N\}$ とおいてみましょう。すると上の収束の定義は次のように書き換えられます。

$\forall U\in\mathfrak{N}(x)\ \exists N\in\mathbb{N}\ \ F_N\subset U$

これがフィルターで書いた場合の収束であり、上の記事の中でいう命題2.3です。つまりフィルター基底 $\mathfrak{B}=\{F_N\mid N\in\mathbb{N}\}$ の収束をみているわけです。

このように点列の収束は集合の包含関係で書き換えられます。さらにこの形で書けば $F_N$ が点列である必要すらなくね？という発想に至りこれを一般の集合で書き直すことでフィルターの定義にたどり着きます。

（この辺りの「具体的な抽象化の過程」は上の記事では触れなかったのでここで書いておくことにしました。）

フィルターの感覚はだいたいそんな感じです。こうして定義されたフィルターを用いると最初に書いたような強い結果が色々得られるのですがその辺の詳しいところは上の記事を見てください。

今回なぜ自分が上の記事を書いたかというとフィルターについての初等的な文献があまりないような気がしたからです。それでTwitterで「フィルターのpdf書いたら需要ある？」みたいなツイートをしてみたら思ったより反応があったので書くことにしました。

実際、自分がフィルターについて勉強したいと思ったときもどの本に載っているのかわからず、適当な位相空間の本を開いてみるも見つからず、結局大学の本棚にあったブルバキを読んで勉強しました。

記事内では参考文献を6冊ほど挙げていますがそのうちフィルターについてまともに載っている本は2冊だけです。

森田先生の位相空間と内田位相は位相空間論の参考にしただけでフィルターは出てきませんし、松坂位相でも演習問題で一瞬でてくるだけでしたし、位相のこころでは説明がされてますがこれは読み物なので証明などは詳しくされていません。また論理と位相ではフィルターについて扱われていますがこれは順序集合におけるフィルターの話（束論での扱い）なので位相空間上での収束などは書かれていませんでした。

要するに上の記事はほとんどブルバキを参考に書かれています。「クセがある」と名高いブルバキの内容を現代的な記法で書き直し、チコノフの定理を焦点にまとめ直しました。

解析系や幾何系に進んでいるとフィルターはメジャーな道具のように思う（？）のですがどうも文献が少ないです。もしフィルターの平易な文献があれば教えてもらえると嬉しいです。

2018-06-05

初投稿

初投稿です。最初なので自己紹介でもします。

ハンドルネームはちょーさん、TwitterIDは@cho_san111000です。現在は関西の某ロケット団大学で数学を専攻しています。趣味はアニメで主にきらら系作品から活力をもらいながら生きてます。

とまあだいたいそんな感じの人間です。以下もう少し詳しく自己を紹介していきます。

大学で専攻している数学についてですが専門は位相幾何学です。学部中にド・ラーム理論くらい終わらせたい…

ちなみにTwitterで数学垢もやっていて、先に載せた垢のbioにも書いてますが@kyo_math1729というIDでこちらのハンネはε（イプシロン）といいます。数学の会合などではこっちを名乗ることにしてるのですがだんだん住み分けが曖昧になってきております。

このアカウントを覗いてもらえばわかるかもしれませんが、実は専門の位相幾何学以外にも趣味で数学基礎論をやっていたりします。最近は自主ゼミで公理的集合論を勉強中です。

基礎論を専門にしようかと考えた時期もありましたが色々あって専門は位相幾何学、基礎論は趣味という形に収まりました。

続いてアニメの方の話題も触れておきます。まず最初にはっきり明記しておきますがちょーさんは普通にアニオタです。μ'sでは海未推しです。どのくらい海未推しかというとTwitterでハッシュタグ #ちょーさん海未ちゃん勧誘祭りで検索してみてください。

きらら系作品と冒頭に書きましたが美少女系ばかり観てるというわけでもなくジャンルは広く色々観ます。今期の目玉はヒロアカ3期です。

ちなみにきらら作品にハマったきっかけはきんいろモザイクです。ごちうさも好きですが個人的にはきんモザ派です。

声優も好きでエンドテロップは必ず見るのですが最近は若手の勢いが凄いですね。新人の登場ペースが早くて追いつくのが大変です。

とまあ色々語りましたがおそらくこのブログで語ることになるのは数学の話が多くなるかと思います。数学をしていて気になったことや学んだことを気まぐれでまとめていこうかと思います。アニメやその他についてもまあ何かあれば書くかもしれません。

そんな感じでゆる～くやっていきますのでよろしくお願いします。

ちょーさんメモ出張版気まぐれブログ

ちょーさん（@cho_san111000）のブログです。数学やその他のことを書きます。更新頻度はちょーさんの気分次第です。

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